9. Demostrar el concepto de los métodos de integración por: cambio de variable, sustitución, por partes a través de 5 ejercicios mínimo por cada método.

1.    Demostrar el concepto de los métodos de integración por: cambio de variable, sustitución, por partes a través de 5 ejercicios mínimo por cada método.

Integración por cambio de variable.

Nos proporciona un proceso que permite reconocer cuándo un integrando es el resultado de una derivada en la que se ha usado la regla de la cadena.

Sea f(x) la función que deseamos integrar, entonces hacemos el siguiente cambio de variable: x = g(t), d(x) = g'(t)dt, con lo que:

Integración por partes.

Este método nos permitirá resolver integrales de funciones que pueden expresarse como un producto de una función por la derivada de otra.

Sean u y v dos funciones continuas, derivables y sus derivadas du y dv son integrables, entonces:

u=f(x), v=g(x), luego du=f'(x)dx, dv=g'(x)dx: 

Integración de funciones racionales:

Vamos a integrar funciones racionales (cociente de polinomios), que siguen la forma:

En este caso se divide P(x) entre Q(x), pasando la integral a:

Se reduce a calcular la integral de un polinomio c(x) y la integral de una función racional en la cual el numerador tiene grado menor que el denominador (está última integral es la que nos queda por calcular).

A continuación describiremos varios casos de descomposición de fracciones racionales (en las que el polinomio del numerador tiene grado menor que el denominador) como una suma de fracciones parciales, fáciles de integrar.